벡터

• 벡터가 무엇인가??

 

벡터는 크기와 방향을 가지고 있는 양을 나타내는 수학적 개념입니다. 벡터는 화살표로 표현되며, 화살표의 길이는 벡터의 크기를 나타내고, 화살표의 방향은 벡터의 방향을 나타냅니다.

 

예를 들어, 우리가 2차원 평면에서 (3, 4) 벡터를 가진다면, 이 벡터는 시작점이 원점이고 끝점이 (3, 4)인 화살표로 나타낼 수 있습니다. 이 벡터의 크기는 √(3² + 4²) = 5 이고, 방향은 x축에서 3만큼 오른쪽, y축에서 4만큼 위쪽을 가리키는 것입니다

 

• 벡터의 성분곱

 

벡터의 성분곱(또는 내적, dot product)은 두 벡터의 각 성분을 곱한 후 더한 값을 나타내는 연산입니다. 두 벡터 a = (a1, a2, ..., an)와 b = (b1, b2, ..., bn)가 있을 때, 이들의 성분곱은 a · b = a1b1 + a2b2 + ... + anbn으로 정의됩니다.

 

 

• 벡터의 덧셈

 

벡터의 덧셈은 같은 차원을 가지는 두 벡터의 각 성분끼리 더한 결과를 나타내는 연산입니다. 예를 들어, 2차원 공간에서 벡터 (1,2)와 벡터 (3,4)를 더하면, (1+3, 2+4) = (4,6)의 결과를 얻을 수 있습니다.

 

• 벡터의 노름(norm)

 

L1 노름: 벡터의 각 성분의 절댓값을 더한 값으로 구합니다. 수식으로는 ||a||1 = |a1| + |a2| + ... + |an|입니다. L1노름은 맨하탄 거리(manhattan distance)라고도 부릅니다. L1노름은 벡터의 각 성분이 얼마나 차이가 나는지를 측정하기 때문에, 이상치(outlier)가 있는 데이터를 처리할 때 유용합니다.

 

L2 노름: 벡터의 각 성분의 제곱을 더한 후 제곱근을 취한 값으로 구합니다. 수식으로는 ||a||2 = sqrt(a1^2 + a2^2 + ... + an^2)입니다. L2노름은 유클리드 거리(euclidean distance)라고도 부르며, 두 점 사이의 직선 거리를 의미합니다. L2노름은 일반적으로 벡터의 크기를 측정하는 데에 많이 사용되며, 머신러닝 분야에서도 두 벡터 간의 거리를 계산하는 데에 자주 사용됩니다.

 

 

• 두 벡터 사이의 각도 구하기

 

두 벡터 a와 b가 있을 때, 이들의 내적은 a ∙ b = ||a|| ||b|| cos(θ)로 정의됩니다. 여기서 ||a||는 벡터 a의 크기(L2 노름)를 나타내며, ||b||는 벡터 b의 크기를 나타냅니다. θ는 두 벡터 사이의 각도입니다.

 

• 내적을 이용한 두 벡터의 유사도 측정

 

두 벡터 u와 v 사이의 내적은 다음과 같이 정의됩니다.

 

u · v = ||u|| ||v|| cos(θ)

 

여기서 ||u||와 ||v||는 각각 벡터 u와 v의 크기이고, θ는 두 벡터 사이의 각도입니다. 따라서 두 벡터가 완전히 같은 방향을 가리키면 내적 값은 ||u|| ||v||가 됩니다. 반면 두 벡터가 수직을 이루면 내적 값은 0이 됩니다.

 

내적 값을 이용하여 두 벡터의 유사도를 측정하는 방법으로는 코사인 유사도(cosine similarity)가 있습니다. 코사인 유사도는 두 벡터 사이의 각도가 작을수록 값이 커지는 성질을 가지므로, 유사한 벡터일수록 코사인 유사도 값이 크게 나타납니다. 코사인 유사도는 다음과 같이 정의됩니다.

 

cos(θ) = (u · v) / (||u|| ||v||)